Grundverständnis für regelmäßige Körper

Die platonischen Körper

 

Der griechische Philosoph Plato (ca. 428-348 v. Chr.), dessen Namen sie heute tragen, beschreibt diese Körper in seinem Werk Timaios und nennt sie auch "Kosmische Körper", indem er ihnen die Elemente zuweist, aus denen sich die Welt aufbaut:

Feuer: Tetraeder · Wasser: Ikosaeder · Luft: Oktaeder · Erde: Würfel (Hexaeder) · Quintessenz oder Äther, aus dem alle anderen Elemente entstanden sind: Dodekaeder.

 

Letzteres bezeichnet man in der Tradition schlicht auch als Himmel. Damit ist der Raum gemeint, in dem sich alles befindet (die restlichen vier Elemente) und aus dem die Kraft kommt, die alles "beseelt" und mit Energie versorgt.

 

Die Platonischen Körper sind die in unserer dreidimensionalen Welt die einzig möglichen Figuren mit folgenden Kennzeichen:

 

· Alle Kanten eines Körpers haben die gleiche Länge

· Alle Seiten eines Körpers haben die gleiche regelmäßige Fläche

· Alle Flächenwinkel in einer Ecke sind gleich groß.

Dualkörper

Mit Hilfe der Dualkörper kann man zeigen, dass es nur drei Klassen von regelmäßigen Körpern (Polyeder: dt.: Vielflächner) gibt. Sehr komplizierte Formen kann man somit auf eine der drei Typen zurückführen.

 

Was ist ein Dualkörper?

Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen eines platonischen Körpers, so erhält man wieder einen platonischen Körper (man erreicht dies auch durch absägen der Ecken).

 

Bildet man von dem so neu entstandenen Körper wieder den Dualkörper (also die Mittelpunkte der Flächen verbinden) so erhält man den Körper, den wir zwei Schritte zuvor schon hatten.

 

Startet man beim Würfel sieht die Reihe folgendermassen aus: Würfel -Oktaeder - Würfel - Oktaeder - usw. Es spielt keine Rolle wo man anfängt.

Die beiden sind also miteinander verwandt.

 

Die nächste Verwandtschaft sieht man beim Dodekaeder und Ikosaeder. Bildet man immer wieder die Dualkörper dieser Polyeder, so erhält man eine Reihe ähnlich wie beim Würfel und dem Oktaeder.

 

Nur beim Tetraeder erhält man wieder einen Tetraeder. Bei allen anderen kommt ein anderer Körper als der Ausgangskörper zum Vorschein.

 

Sowohl der Würfel und der Oktaeder, als auch der Dodekaeder und der Ikosaeder stehen in einer engen Beziehung zueinander. Es sind Paare.

 

Fazit:

Letztlich kann man die platonischen Körper auf drei Gruppen zurückführen (Das gilt auch für komplexere Körper wie z.B. die archimedischen oder die catalanischen Körper, die alle aus den Platonischen entstehen):

 

Die drei Gruppen bzw. Typen:
· Die Tetraedergruppe

· Die Würfel-Oktader Gruppe

· Die Dodekaeder-Ikosaeder Gruppe

Gibt es neben den platonischen Körpern auch noch andere Körper?

Es gibt zwar weitere regelmäßige Körper (z.B. archimedische oder catalanische Körper), aber diese entstehen alle aus diesen fünf Grundkörpern. Diese haben zudem auch nicht alle diese drei oben genannten Eigenschaften, welche die platonischen Körper so edel und einzigartig machen.

Es ist auch nicht so, dass man diese fünf platonischen Körper einfach ausgewählt hat, um in einen mystischen Zusammenhang zu pressen oder dass man sagen könnte, man findet noch weitere Körper. Es ist mathematisch festgelegt, dass es nur diese fünf gibt. Geometrische Körper lassen sich unendlich viele konstruieren. Jedoch: Bei den Grundkörpern geht es um diese 3 Eigenschaften, welche nur die
platonischen Körper alle besitzen.

Bei den Dualkörpern sieht man deutlich, dass aus den platonischen
Körpern andere entstehen können. Aber es läßt sich auch jeder
andere platonische Körper in die fünf „Grundsteine einbeschreiben.
Die Abbildung rechts zeigt hier nur ein Beispiel:
Der Tetraeder im Würfel.